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研究性学习开题报告数学范例:求函数值域的方法         ★★★★
研究性学习开题报告数学范例:求函数值域的方法
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013/7/18 11:56:46

研究性学习开题报告

 

课题名称:求函数值域的方法。

 

指导老师:李***

 

成员:陈*******************

 

组长:陈****

 

班级:高一(?) 班

 

 

1.课题研究的背景及意义:

    老师曾说过:“函数是数学的灵魂! 这句话体现了学好函数对我们的重要性。 我想 ,一提起函数,大多数学生都闻风丧胆。 这就是我们数学组成员决心学好函数的原因。把数学的“灵魂”都掌握好了,其他的学起来也就得心应手了。学好函数,就要注重掌握解题技巧,多做多练,从而见多识广,举一反三, 考试也就不在话下了。所以, 学好函数,学好数学,是至关重要的。

函数的概念最早产生于运动的研究.如伽利略是用文字语言来表述这些函数关系的.“从静止状态开始以定常加速度下降的物体,其经过的距离与所用时间的平方成正比”;“沿着同高度但不同坡度的倾斜平板下滑的物体,其下滑的时间与平板的长度成正比”;显然,只需引进适当的符号,上述的函数关系就可以明确的用数学形式表述: ; …以这些具体的函数为原型,17世纪的一些数学家通过弱抽象获得了如下的函数概念: “函数是这样一个量,它是从一些其它的量通过一系列代数运算而得到的.”  
上述定义显然过于狭窄了,因为它事实上仅适用于代数函数的范围.因此,在其后的发展中,函数概念得到了进一步的扩展.随着数学研究的深入,人们逐渐接触到了一些超越函数,如对数函数,指数函数三角函数等,尽管这些函数已经超出了代数函数的范围,但是在一些数学家看来,两者区别仅仅在于超越函数重复代数函数的那些运算无限多次,从而人们又通过弱抽象提出了如下的函数概念: “函数是指由一个变量与一些常量,通过任何方式(有限的或无限的)形成的解析表达式.” 
这一由欧拉给出的定义尽管仍然过于狭窄,在18世纪却曾长期占统治地位.19世纪初,函数概念再次得到了扩展,函数的概念开始摆脱“解析表达式”,另外狄里克雷更提出了如下的函数概念:“如果对于给定区间上的每一个x值有唯一的一个y值同它对应,那么,y就是x的一个函数.” 
最后,如果用任意的数学对象去取代具体的数量,并采用集合论的语言,则可以获得更为一般的“映射”概念: 
如果在两个集合的元素之间存在有确定的对应关系,就称为是一个映射. 
 

2.研究方法:

(1)直接法:从自变量的范围出发,推出值域。

 

(2)分离常数法

例题:y=(1-x^2)/(1+x^2)

 

解,y=(1-x^2)/(1+x^2)

     =2/(1+x^2)-1

 

∵1+x^2≥1,∴0<2/(1+x^2)≤2

∴-1< y≤1   即y∈(-1,1】

 

(3)配方法(或者说是最值法)

求出最大值还有最小值,那么值域不就出来了吗。

 

例题:y=x^2+2x+3   x∈【-1,2】

 

先配方,得y=(x+1)^2+1

∴ymin=(-1+1)^2+2=2

  ymax=(2+1)^2+2=11

 

(4)判别式法,运用方程思想,根据二次方程有实根求值域

不好意思,当初做笔记的时候忘记抄例题了,不过这种方法不是很常用。

 

(5)换元法:适用于有根号的函数

 

例题:y=x-√(1-2x)

 

设√(1-2x)=t(t≥0)

∴x=(1-t^2)/2

∴y=(1-t^2)/2-t

   =-t^2/2-t+1/2

   =-1/2(t+1)^2+1

 

∵t≥0,∴y∈(-∝,1/2)

 

(6)图像法,直接画图看值域

 

例题:y=|x+1|+√(x-2)^2

 

这是一个分段函数,你画出图后就可以一眼看出值域。

 

(7)反函数法。求反函数的定义域,就是原函数的值域。

 

例题:y=(3x-1)/(3x-2)

 

先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)

明显定义域为x≠1

所以原函数的值域为y≠1

 

3.活动计划

第一阶段(元旦前):1.组建队伍;2.参加课题研究培训,开好开题会,制定课题研究方案。

第二阶段(元旦至开学):通过各种有效途径搜索有关资料并分析资料。

第三阶段(开学后至期末):开展问卷调查,整理数据。

第四阶段:总结经验教训,不断进步,完成结题报告,从此研究中进一步学习与巩固数学知识,了解此研究的意义。

 

4.人员条件:

    这个课题我们对他充满兴趣,满怀激情投入其中,尽己所能完成这项研究在组长组织下,团结协作,合理分工,以向老师交上满意的答卷。

 

5.物质条件:

    我们的每个成员家中都有电脑,查询资料与交流都很方便。

6.活动方法:

    通过队员独自搜索相关资料,提出初步研究心得;召集队员汇报各自学习心得并讨论交流;由组长进行总结分析,肯定所取得的成绩并找出不足之处,提出下一步的研究方向;由组长编制研究报告并提交队员讨论后上报。

7.总结:

    对我们来说,研究性学习本身就是一个全新的课题,同其他学习方法相比,他的学习范围与内容及自由度都大大增加了,我们从中知道了确定函数的值域是研究函数不可或缺的一部分。



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