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中考数学复习中的数学思想         ★★★★
中考数学复习中的数学思想
作者:佚名 文章来源:网络 点击数: 更新时间:2013/8/26 12:56:38

 

数学思想方法是数学的精髓,是数学基本知识的重要组成部分,是一个人终生发展的基础?疾槭枷敕椒ㄊ强疾檠芰Φ谋赜芍。中考数学试题特别重视突出数学思想和方法的考查。在中考数学复习中,应有意识、有目的、适时地渗透数学思想方法,培养学生有效地利用数学思想方法解决相关问题。要注意让学生针对具体题目总结、体会这些数学方法和数学思想。

一、方程思想

方程思想就是从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,运用定义、公式、性质、定理及条件,把所研究的问题中已知量和未知量之间的数量关系转化为方程,从而使问题得到解决。应用方程的例子俯拾皆是,这里不再赘述。

二、函数思想

它一方面是指以函数概念为依托,运用运动和变化的观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式,把这种数量关系表示出来,(即建立函数表达式)并加以研究,从而使问题获得解决。另一方面函数思想是对函数概念本质的认识,即利用函数的图像或函数的性质去分析、观察其它数学问题并加以解决。最常见的有一次函数二次函数和反比例函数三角函数。

例、甲、乙两辆汽车沿同一路线赶赴距出发地480千米的目的地,乙车比甲车晚出发2小时(从甲车出发时开始计时).图中折线 、线段 分别表示甲、乙两车所行路程 (千米)与时间 (小时)之间的函数关系对应的图象(线段 表示甲出发不足2小时因故停车检修).请根据图象所提供的信息,解决如下问题:

1)求乙车所行路程 与时间 的函数关系式;

2)求两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程;

3)乙车出发多长时间,两车在途中第一次相遇?(写出解题过程)

A

O

D

P

B

F

C

E

y(千米)

x(小时)

480

6

8

10

2

4.5

 

 

 

 

 


解:(1)设乙车所行路程 与时间 的函数关系式为 ,把(2,0)和(10,480)代入,得 ,解得

的函数关系式为                                                                       

2)由图可得,交点 表示第二次相遇, 点横坐标为6,此时 , 点坐标为(6,240),

两车在途中第二次相遇时,它们距出发地的路程为240千米.                                      

3)设线段 对应的函数关系式为 ,把(6,240)、(8,480)代入,得

,解得 ,

的函数关系式为                                                                  

时,

的纵坐标为60,

表示因故停车检修,

交点 的纵坐标为60                                                                                                

代入 中,有 ,解得 ,

交点 的坐标为(3,60).                                                                                         

交点 表示第一次相遇,

乙车出发 小时,两车在途中第一次相遇.                                                       

三、整体代换思想

本质就是换元法。

例、若a是方程 的根,则代数式 ------------

四、数形结合思想

自从笛卡儿发明了直角坐标系,代数与几何就开始了相互渗透,对数学的影响越来越明显。拉格朗日曾经这么说:“只要代数与几何分道扬镳,它们的进展就缓慢,它们的应用就狭窄。但是,当这两门科学结合成伴侣时,它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后就以快速的步伐走向完善!被薷灿欣嗨频穆凼。由此可见,坐标系不同于一个一般的定理,也不同于一个一般的理论,它是一种思想和艺术。它使整个数学发生了崭新的变化。数学知识尽管来源于生活实践,但数学最本质的东西是从生活实践中概括和抽象出来的。中考有些题需把抽象的知识具体化、形象化,通过直观的形象来分析解决问题。这就需用到数形结合思想。

1

y

x

 

例、如图,直线x1是二次函数 的图象的对称轴,

则有( 。

       A  abc0                              B  bac

       C  abc0                                     D  c2b

 

 

 

五、转化思想

转化的思想是初中教材中涉及最多的数学思想,转化思维是创造思维的核心。如:在解方程(组)时用到的消元、降次的思想;解分式方程时把分式方程转化为整式方程等等。任何一个数学问题都是通过联想、构造、转化的思维方式有机地进行数形转化,从而实现未知到已知的过程。渗透转化思想要引导学生以下几点:1、解方程(组)降次、换元、公式变形。2、一元二次方程和一元二次函数转化的思想  3、几何辅助线引发的几何习题的条件和结论的变化和图形的变化。4、代数、几何之间的转化思想。

例、已知:x24x+1=0, 的值.

解析::将方程两边同时除以x,转化为 2的形式.

x4+ =0 =4.    ( )2 ( ) 2 4=424=12

六、分类讨论思想

   分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思维方法.把问题中所涉及的对象不重不漏的分成有限的若干类的情况.然后对每一种情况逐一解决,从而解决问题.

例、如图,抛物线 轴交于 两点,于 轴交于点 。

   (1)求出抛物线的解析式以及 ;

   (2) 轴下方的抛物线上是否存在一点 ,使四边形 的面积最大?

      若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由。

   (3)在抛物线 上求点 ,使 是以 为直角边的直角三角形。

C

B

A

0

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


解:(1)  

(2)如图,设 。则 ,且

, ,

四边形ABCD的面积= 的面积 的面积 的面积

= 。

∴存在点D ,使四边形ABCD的面积最大为 。

C

B

A

0

y

x

D

1

C

B

A

0

y

x

2

E

C

B

A

0

y

x

3

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


(3)有两种情况;如图2过点B 。

,  

如图3,过点 .

,

综上,在抛物线上存在两点 , 。  

 

 



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